Durchschnittliche Einheit Root

Prüfung von Einheitswurzeln Die Zeitreihenanalyse dient der Identifikation, Schätzung und Diagnose von stationären Zeitreihen. Zur Überprüfung bieten wir die folgenden Definitionen an: Definition: Die Folge ist Kovarianz stationär, wenn für alle t und t-s gilt. Das heißt, der Mittelwert, die Varianz und die Kovarianz sind invariant zum Zeitursprung. Definition: Angenommen, wir haben die Folge t (t0,1,2,133) mit Mittelwert m und Varianz s 2. Dann ist die Autokorrelationsfunktion oder das Korrelogramm gegeben durch Angenommen, wir haben eine Reihe t, die wir von einem AR (1 ) Prozess, sagen wir, wo und et ist weißes Rauschen. Wir können die Parameter in (1) durch OLS schätzen: Unser Schätzer ist effizient und die Reihe ist stationär seit. Wir könnten eine t-Statistik verwenden, um die Hypothese zu testen. Dies ist ein legitimer Test, da die Null eine widerlegbare Hypothese ist, auch wenn die Macht gegen eine lokale Alternative unwesentlich ist. Nehmen wir an, dass die Daten wirklich durch eine rekursive Substitution erzeugt wurden, kann dies umgeschrieben werden, da es nicht stationär ist, da t groß wird. Nun müßten wir es testen. Es gibt jedoch ein Problem, da der Schwerpunkt des üblichen Schätzers von 1 abgegrenzt wäre. Wir neigen dazu, auf der Seite der Zurückweisung zu viel H 0 zu irren. Die Frage nach dem Vorhandensein einer Einheitswurzel ist in Regressionsmodellen der Art besonders problematisch. Wir nehmen gewöhnlich an, daß t und t beide stationär sind und daß e t weißes Rauschen ist. Wenn die beiden Variablen nichtstationär sind, werden wir wahrscheinlich falsche Ergebnisse erhalten: hohe R 2 und statistisch signifikante Koeffizienten, obwohl es möglicherweise nicht wirklich eine sinnvolle Beziehung zwischen y und z gibt. Es gibt vier Fälle zu berücksichtigen, Beide t und t sind stationär und das klassische Regressionsmodell ist o. k. Die Sequenzen t und t sind in verschiedene Ordnungen integriert. Regressionsmodelle, die solche nichtstationäre Reihen enthalten, sind bedeutungslos. Die nichtstationären t und t sind beide in die Ordnung 1 integriert, und der Fehlerterm weist eine stochastische Drift auf. Jetzt sind alle Fehler permanent. Das ist e t t. Aber wir können OLS mit guter Wirkung auf t und t integrieren in der gleichen Reihenfolge und die restliche Sequenz ist stationär. Dann werden t und t als zusammengefaßt bezeichnet. Zum Beispiel: Sowohl t als auch t sind Einheitswurzelprozesse, aber y t - z t e yt - e zt ist stationär. Wir verlassen den Fall 4 bis zum Kapitel über die Kointegration. Im Augenblick beschäftigen wir uns mit der Bestimmung, ob die Reihe t eine Einheitswurzel hat oder nicht. Dickey-Fuller-Tests Betrachten Sie die Daten-Generierung und die damit verbundene Frage, ist ein 1 1 Subtrahieren y t-1 von beiden Seiten, um g 0 impliziert, dass eine 1 1 impliziert eine Einheit Wurzel in t. Der Begriff stochastische Drift kommt aus dem folgenden: Angenommen, der Prozess ist Wir können dies umschreiben. In der nächsten Periode, dh t1, ist der Intercept aoa 1 t1 größer, zu dem wir addieren Ein stochastischer Begriff. Wir haben diese Vorstellung von einem stochastischen Intercept an anderer Stelle gesehen. Und zwar im Zufallseffektmodell. Wir können einen linearen Trend mit Drift zulassen In jedem Fall ist unser Test der Hypothese Die Teststatistik, die wir für den Test der Hypothese verwenden, wird als t-Statistik aufgebaut. Das ist Die kritischen Werte kommen aus einer Reihe von Tabellen von Dickey und Fuller vorbereitet. Die Tabellen wurden empirisch generiert. Wir sind daran gewöhnt, Tests mit kritischen Werten durchzuführen, die wir analytisch durch Integration einer bekannten Verteilungsfunktion bestimmt haben. Die jeweilige Tabelle, die verwendet werden soll, hängt davon ab, ob das Modell einen Schnittpunkt oder einen Trend aufweist. Jedoch werden die kritischen Werte nicht durch Einbeziehen von Begriffen auf der rechten Seite geändert. Um Sie im Testverfahren zu begleiten, ist das folgende Flussdiagramm von Walter Enders, Applied Econometric Time Series, Wiley, 1995 zu betrachten. Man beginnt in der linken oberen Ecke mit dem allgemeinsten Modell, das eine stochastische Drift und einen deterministischen Trend einschließt. Entweder der Trend oder die Drift kann das Aussehen einer Einheit Wurzel in ihrem eigenen Recht zu produzieren, so dass sie am Anfang enthalten sein müssen. Es sei daran erinnert, dass eine ausgeschlossene relevante Variable eine Bias einführt, aber eine eingeschlossene irrelevante Variable hat nur Kosten in Bezug auf die Effizienz. Wenn der Nullwert einer Wurzel nicht abgelehnt wird, dann durch Prüfen der Signifikanz des Trendbegriffs in Gegenwart einer Einheitswurzel. Wenn der Trendbegriff nicht signifikant ist, dann testen Sie auf die Bedeutung des Driftterms. Wenn wir entlang der Weise finden, daß entweder der Trend oder die Drift nicht Null ist, dann gehen wir sofort vor, um die Bedeutung von g zu testen. Die folgenden Modelle wurden in den Federal Reserve Bank Produktionsindex für den Zeitraum 1950: 1 - 1977: 4, insgesamt 112 Beobachtungen angepasst. In allen drei Modellen sind die Zahlen in Klammern Standardfehler. Der allgemeinste Modus, der dem Start des Flußdiagramms entspricht, ist auf der 5-Ebene des Tests (2,5 in jedem Schwanz) der kritische Wert für den Koeffizienten auf yt-1 für ein Modell mit Drift und Trend -3,73, verglichen mit Eine beobachtete Teststatistik von 3.6, so dass wir die Null nicht zurückweisen. Für den Augenblick glauben wir, dass es eine Einheitswurzel gibt. Als nächstes passen wir ein Modell an, das die Einschränkung von g 0 auferlegt und testet, um zu sehen, ob der Trendkoeffizient null ist. Man beachte, daß der Trendkoeffizient auf der Basis eines herkömmlichen t-Tests sehr signifikant ist. Ein Modell mit Drift aber kein Trend und was vermuten lässt, dass es eine Einheitswurzel gibt, ist jetzt der Test der Hypothese H o. Einheit Wurzel, kein Trend H 1. Eine oder beide nicht true Die entsprechende Teststatistik ist so konstruiert, als wäre sie ein F-Test, aber der kritische Wert wird aus einem anderen Tabellensatz gelesen. Der kritische Wert auf der 5-Ebene ist 6.49, so dass wir die Null nicht zurückweisen. Unser Fazit zu diesem Punkt ist, dass es eine Einheit Wurzel gibt und dass der Trend ausgeschlossen werden sollte. Ein Modell mit weder Drift noch Trend, das aber eine Einheitswurzel voraussetzt, ist Der Test der Hypothese ist H o. Einheit Wurzel, kein Trend, keine Drift H 1. Ein oder mehrere gehören Der kritische Wert bei 1 Teststufe ist 6.50. Da unsere beobachtete Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, können wir die Null nicht zurückweisen. Unsere Schlussfolgerung ist, dass es eine Einheit Wurzel gibt, gibt es weder Trend noch Drift. Erweiterung von Dickey-Fuller Angenommen, der Datenerzeugungsprozess ist Dies ist ein bisschen allgemeiner als der Prozess, mit dem wir begonnen haben. Es wird auch eine Vielzahl von Wurzeln zugeben. Wir müssen Dickey-Fuller erweitern, um diese Möglichkeit zu testen. Betrachten wir den AR (3) - Prozess Wir addieren und subtrahieren eine 3 y t-2, um zu erhalten Jetzt addieren und subtrahieren (a 2 a 3) y t-1, um endlich zu erhalten Subtrahieren Sie y t-1 von beiden Seiten Kann für das Vorhandensein einer Einheit Wurzel testen. Wir wissen, daß, wenn die Koeffizienten in einer Differenzengleichung auf eins und wenigstens eine Wurzel gleich Eins sind. Im vorliegenden Kontext bedeutet dies, wie im einfacheren Fall, das Testen von g 0. Die kritischen Werte für dieses erweiterte Modell bleiben die gleichen wie zuvor. Parenthetisch verursacht das Hinzufügen eines Zeitverlaufs einen Kopfschmerz, wenn es Zeit ist, die großen Mustereigenschaften des OLS-Schätzers abzuleiten, da xx nicht mehr endlich elementar ist. Probleme mit D-F und erweitertem D-F 1. Der Fehlerterm kann einen gleitenden mittleren Term in ihm haben. Angenommen, A (L) y t C (L) e t und die Wurzeln von C (L) liegen alle außerhalb des Einheitskreises, so dass C (L) invertierbar ist. Dann wird D (L) von unendlicher Ordnung sein, aber wir können unsere frühere Prozedur verwenden, um zu schreiben. Mit unseren endlichen Datensätzen könnten wir in Schwierigkeiten geraten, wenn nicht für die Tatsache, dass es empirisch gezeigt worden ist, dass eine gute Annäherung das abschneiden wird Verteilte Verzögerung am T3-Term. 2. Was ist die geeignete Verzögerungslänge für die differenzierten Begriffe, die auf dem RHS enthalten sind. Das Problem von zu vielen Verzögerungen verringert die Effizienz des Schätzers. Dies ist ein viel weniger ernstes Problem als die Verwendung zu wenig Verzögerungen. Wie bereits erwähnt, beeinflussen die Ausnahmen relevanter Variablen die Bias und die Konsistenz des OLS-Schätzers. 3. DF-Tests, um zu sehen, ob es mindestens eine Wurzel gibt. Angenommen, es gibt mehr Zum Beispiel könnte man die Parameter des Modells (1-L) 2 y t b 1 (1-L) y t-1 e t schätzen. Man würde dann die DF-Statistik entsprechend dem Fall verwenden, um b & sub1; 0 zu testen. Wenn b & sub1; & sub0; dann gibt es 2 Einheitswurzeln, wenn sie nicht Null ist, dann muß man weitergehen und testen, um zu sehen, ob es einen einzelnen Einheitswurzel gibt . Das Verfahren wird auf die offensichtliche Weise verallgemeinert. 4. Wie wissen wir, welche deterministischen Regressoren in das Modell gehören Die Verfahren, die im FRB-Herstellungsbeispiel und in den Problemen 2 und 3 verwendet werden, verwenden kaskadierende Tests der Hypothese. Wie in Theil, Principles of Econometrics, Wiley, 1971, gezeigt wird, verringert dies den angeblichen Signifikanzwert des Tests in jedem nachfolgenden Schritt. Entlang der gleichen Linie, Richter und seine zahlreichen Koautoren würde argumentieren, dass die Prozedur, die im Flussdiagramm skizziert, in den Bereich der Vorprüfung und damit ein höheres Quadrat Fehlerverlust über einen großen Teil des Parameterraums. Nichtsdestoweniger ignorieren wir bei der angewandten Arbeit oftmals diese Einschränkungen und verwenden das Verfahren im Flußdiagramm. Ein weiteres Beispiel: Kaufkraftparität Unter PPP ist die Abschreibungsrate in etwa gleich der Differenz zwischen den Inlands - und Inlandspreisen. Das PPP-Modell impliziert, wo pt-Protokoll der US-Preisniveau pt-Protokoll der ausländischen Preisniveau und Protokoll des Dollarkurses der Devisen dt Abweichung von PPP zum Zeitpunkt t Die drei Datenreihen gelten die Log-Transformation, so dass wir mit Inflationsraten . Bei bestimmten PPP-Modellen ist es möglich, dass echte Stöße entweder nach Bedarf oder nach Versorgung zu permanenten Abweichungen führen können. Intuitiv sollten die Abweichungen nicht bestehen bleiben oder es wären erhebliche Gewinnchancen. Und sowieso würde diese Gewinnverwendung und Arbitrage PPP schließlich wiederherstellen. Ein populäres Verfahren in der empirischen Modellierung von PPP ist, die Serie zu konstruieren. Wenn PPP zu halten ist, muss rt mit einem Nullmittelwert stationär sein. Darüber hinaus gibt es weder Trend noch stochastische Drift. Um das Material in einem anderen Abschnitt abzuschätzen und vorwegzunehmen, e t. P t und p t werden zusammengefasst, wenn das PPP-Modell wahr ist. Diese spezifische Formulierung des Modells setzt einen spezifischen Kointegrationsvektor auf die drei Variablen. (1973.1 - 1986.11, T167) Bretton-Woods-Ära, um die folgenden Ergebnisse mit den Koeffizienten-Standardfehlern in Klammern zu erhalten: Beachten Sie, dass eine 2 0 für die letzte Periode. Dieser Grund allein in Frage stellt die Gültigkeit der PPP. In keiner Periode können wir die Null einer Einheitswurzel zurückweisen. Das beobachtete t ist nach jedem Standard klein. Die Wechselkursregelung hat die Wechselkurse volatiler und unvorhersehbarer (siehe SD und SEE). In diesem Beispiel können wir den Nullwert eines Einheitswurzels nicht zurückweisen. Wir können nicht an das PPP-Modell glauben. Aber unser Testverfahren beruht auf der konstanten Varianz des Fehlerterms, was nicht der Fall zu sein scheint. Phillips und Perron haben korrigierte Teststatistiken für die Fälle entwickelt, in denen der Fehler ein MA ist, ist vielleicht heterogen oder es gibt einen strukturellen Bruch in den Daten. Strukturelle Veränderung Wie können wir den Unterschied zwischen einer Reihe, die einen strukturellen Bruch in ihr hat, aber ansonsten stationär wäre, und eine Reihe, die nicht stationär ist, die sich aber aufgrund eines Impulses wie die erste Reihe entwickeln scheint, betrachten Wobei es eine Verschiebung in dem Intercept gibt, wobei DL eins für viele aufeinanderfolgende Perioden ist und ansonsten Null ist. Ein Beispiel ist die folgende Abbildung. Die rote Linie ist die ursprüngliche Reihe. Die blaue Linie ist die einfache Regression von y t auf Zeit (a-3.543, b.189). In der Regression von y t auf y t-1 erhalten wir Anscheinend verursacht der strukturelle Bruch, dass der Koeffizient auf y t-1 auf eins vorgespannt wird. Für alle Erscheinungen ist y nicht stationär, obwohl wir wissen, daß es sowohl vor als auch nach der Unterbrechung bei t50 stationär ist. Selbst ohne den Test für diesen Fall, würden wir nicht erwarten, dass Dickey-Fuller sehr robust gegen diese Modelle mit einem strukturellen Bruch in ihnen. In der Tat ist die beobachtete Teststatistik t .507 Nun betrachten wir ein nicht-stationäres Modell, bei dem es einen einmaligen und getanten Impuls gab, bei dem DP in einer gegebenen Periode gleich Null ist und ansonsten ein Beispiel ist in der folgenden Abbildung: Die rote Linie ist die Ursprüngliche Reihe. Die blaue Linie ist die einfache Regression von y t auf Zeit (a-8.086, b.233). Es gibt eine scheinbare Pause bei t50. Die Regression von y t auf ihren verzögerten Wert gibt uns Selbst ohne einen formalen Test führt die Größe des Koeffizienten dazu, dass wir eine Einheitswurzel vermuten, was tatsächlich der Fall ist. Ohne einen statistischen Test können wir diesen Fall nicht von vornherein unterscheiden. Phillips und Perron haben einen Test für dieses Problem entwickelt. Betrachten wir das Arbeitsmodell, in dem D P ein Impuls gleich Eins in einer Periode und Null ansonsten ist, D L eins für einige aufeinanderfolgende Perioden und Null ansonsten ist. Schritt 1. Schätzen Sie die Koeffizienten des Vollmodells. Schritt 2. Vergleichen Sie die t-Statistik mit den kritischen Werten in Perron. Von besonderem Interesse ist der Koeffizient a 1. Wenn Perron diese Methode verwendet, um die Plosser-Nelson-Daten zu analysieren, fand er, dass die meisten Makrozeitreihen Trend stationär sind. Testen der Nullhypothese der Stationarität gegen die Alternative einer Einheitswurzel Wie sicher sind wir, dass ökonomische Zeitreihen eine Einheitswurzel Denis Kwiatkowski haben Zentrale Michigan Universität, Mt. Anders, MI 48859, Vereinigte Staaten von Amerika Peter CB Phillips Yale University, New Haven, CT 06520, USA Peter Schmidt Yongcheol Schin Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA Verfügbar am 1. März 2002. Wir schlagen einen Test der Nullhypothese vor, Beobachtbare Reihe ist stationär um einen deterministischen Trend. Die Reihe wird als die Summe der deterministischen Tendenz, der zufälligen Wanderung und des stationären Fehlers ausgedrückt, und der Test ist der LM-Test der Hypothese, dass der zufällige Weg eine Nullabweichung aufweist. Die asymptotische Verteilung der Statistik ergibt sich unter der Null und unter der Alternative, dass die Serie Differenz-stationär ist. Finite Probengröße und Energie werden in einem Monte Carlo Experiment betrachtet. Der Test wird auf die Nelson-Plosser-Daten angewandt, und für viele dieser Serien kann die Hypothese der Trend-Stationarität nicht zurückgewiesen werden. Die zweite und dritte Autoren würdigen die Unterstützung der National Science Foundation. Die asymptotische Theorie verschiedener Schätzer auf der Grundlage der Gaußschen Wahrscheinlichkeit wurde für die Einheitswurzel - und Naheinheitswurzelfälle eines Modells erster Ordnung mit gleitendem Durchschnitt entwickelt. Bisherige Untersuchungen des Wurzelproblems MA (1) beruhen auf der speziellen Autokovarianzstruktur des MA (1) - Verfahrens, wobei die Eigenwerte und Eigenvektoren der Kovarianzmatrix des Datenvektors analytische Formen kennen. In dieser Arbeit wird ein anderer Ansatz gewählt, um zunächst die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu betrachten, indem man einen erweiterten Anfangswert als Parameter einbezieht und dann die exakte Wahrscheinlichkeit durch Integration des Anfangswertes wiederherstellt. Dieser Ansatz umgibt die Schwierigkeit, eine explizite Zerlegung der Kovarianzmatrix zu berechnen und kann verwendet werden, um das Einheitswurzelverhalten bei sich bewegenden Mittelwerten über die erste Ordnung hinaus zu untersuchen. Die Asymptotik der GLR-Statistik (generalized likelihood ratio) für Testeinheitenwurzeln wird ebenfalls untersucht. Der GLR-Test hat Betriebscharakteristika, die mit dem örtlich besten unveränderlichen unvoreingenommenen (LBIU) Test von Tanaka für einige lokale Alternativen konkurrieren und dominiert für alle anderen Alternativen. Artikel Details Datum Erstes verfügbares in Projekt Euclid: 24 Januar 2012 Permanenter Link zu diesem Dokument projecteuclid. orgeuclid. aos1327413778 Digitaler Objektidentifikator doi: 10.121411-AOS935 Davis, Richard A. Song, Li. Einheitswurzeln in gleitenden Mittelwerten jenseits der ersten Ordnung. Ann. Statist. 39 (2011), Nr. 6, 3062 & ndash; 3091. Doi: 10,121411-AOS935. Projecteuclid. orgeuclid. aos1327413778. Literaturverzeichnis 1 Anderson, T. W. und Takemura, A. (1986). Warum treten nichtumkehrbare geschätzte gleitende Mittel auf J. Zeitreihe Anal. 7 235x2013254. 2 Andrews, B. Calder, M. und Davis, R. A. (2009). 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